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O Numero Magico - PI
O objetivo deste artigo e apresentar e abordar as singularidades associadas a este numero.
O valor da razão entre a circunferência do círculo e seu diâmetro é a mais antiga constante matemática que se tem conhecimento. Ainda é um recurso utilizado em varias areas de pesquisa:
- o movimento das engrenagens e rolamentos;
- a propagação das ondas eletromagnéticos e um sem número de fenômenos.
Esta associado às idéias de simetria circular e esférica. Decidiu-se representa-lo pela letra pi minúsculo, letra inicial da palavra grega Peripheria que significa perímetro ou circunferência.
Na verdade, concluiu-se que PI não é uma fração. Ou seja, se pudéssemos escreve-lo como uma fração a/b , seu cálculo se resumiria em identificar os valores inteiros de a e b ou explorar a periodicidade de sua representação decimal (por exemplo, se PI = 22 / 7 = 3.142857 142857 142857 ..., então bastaria achar o valor da parte inteira, 3, e o bloco 142.857 que se repete indefinidamente). O fato de que, por mais de 2.000 anos, ninguém tivesse conseguido explorar nenhuma destas duas possibilidades concluiu-se que PI não e uma fração. A verificação rigorosa desse fato e sua demonstração ocorreu apenas por volta de 1.760.
A irracionalidade de PI não seria suficiente para determinar a dificuldade de seu cálculo. Existem numeros irracionais de representação decimal previsível, portanto, fáceis de calcular, como é o caso de 3.10110111011110... Mas PI é difícil porque é um irracional imprevisível, ou seja, sua representação decimal não mostra nenhuma previsibilidade, sendo que seus algarismos se distribuam de forma aleatoria.
Devido a isto, jamais saberemos seu valor exato e isso nos leva a indagar:
- por que não usar ou trabalhar com aproximações praticas do PI?
Na maioria das situacoes ou calculos e o que ocorre. Normalmente, usamos o valor 3,14. Na maioria dos calculos científicos não utilizamos mais do que quatros casas decimais (3,1416) e somente cálculos matemáticos complexos, como o da obtenção de valores muito exatos das funções trigonométricas, utilizariam mais de 10 dígitos.
O matemático que mais se preocupou com a obtenção de aproximações praticas do PI foi Archimedes. Usando o método dos polígonos mostrou que:
- 3 10/71 < PI < 3 1/7, ou em frações decimais: 3,1408 < Pi < 3,1428.
O método dos polígonos envolve a obtenção de sucessivas delimitações da circunferência do círculo através do cálculo do perímetro de polígonos regulares inscritos e circunscritos, cujo número de lados vai sucessivamente dobrando. Consequentemente, o método é capaz, ao menos em princípio, de obter aproximações de PI tão grandes quanto desejarmos.
Um dos mais famosos records no calculo do Pi foi o de William Shanks que, em 1.874, depois de 15 anos de cálculos, obteve os 707 primeiros dígitos do PI. Seu trabalho foi brutal, utilizando apenas lápis e papel. Mesmo com o surgimento de máquinas de calcular e os primeiros computadores, esse record só foi quebrado em 1.947, usando uma calculadora mecânica. (obteve 808 dígitos)
Uma observacao importante é que esse tipo de esforço ficou obsoleto com o surgimento dos computadores. O desenvolvimento de algorítmicos para calcular o PI foram muito mais desafiadores.
"O cálculo dos 100.265 primeiros dígitos do PI, em 1961, precisou de aproximadamente 105.000 operações aritméticas, enquanto que o algoritmo inventado pelos irmãos Borwein em 1984 precisou de apenas 112 operações aritméticas para obter os mesmos dígitos. Com apenas 8 iterações (que envolveu 56 operações aritméticas) obtiveram em poucos segundos a aproximação que consumiu 15 anos da vida de Wm. Shanks".
Um dos interesses de se calcular grandes quantidades de dígitos do PI é verificar sua distribuição aleatória. Os cálculos já realizados confirmam essa hipotese. Por exemplo, examinando os 200 bilhões de dígitos iniciais do PI, obtiveram-se a seguinte distribuição:

DÍGITO     NUMERO de OCORRÊNCIAS

0                 20.000.030.841
1                 19.999.914.711
2                 20.000.136.978
3                 20.000.069393
4                 19.999.921.691
5                 19.999.917.053
6                 19.999.881.515
7                 19.999.967.594
8                 20.000.291.044
9                 19.999.869.180

Estas ocorrências estão bastante próximos dos esperados 20.000.000.000 previstos pelo cálculo das probabilidades.
Uma das aplicacoes mais usuais para todos estes esforcos e demonstrar a performance dos novos computadores. Uma maneira prática de mostrar a capacidade dos computadores em realizar operacoes por segundo e anunciar que o mesmo possibilitou a quebra do record nos número de algarismos calculados para PI.

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