Resumo de Cubos de Menger -

Cubos de Menger

Aviso desde já de que não sou matemático, nem especialista em exponenciais ou algo semelhante. Apenas tenho um grande interesse em geometria, especialmente em coisas como as que o matemático austríaco Karl Menger (1902-1985) descobriu: uma figura geométrica a que chamou de Cubo de Menger. Um cubo destes é formado por diversos cubos semelhantes mais pequenos, que por sua vez, são constituídos por outros cubos ainda mais pequenos.

O cubo mais pequeno (ou seja, de nível 1) encontrado num Cubo de Menger é um cubo vulgar, caracterizado por um orifício central com saídas em cada uma das suas seis faces. Ao juntarmos 27 cubos semelhantes em forma de um cubo maior, excluímos os 7 cubos centrais (um por cada face + 1 central), obtemos um cubo de nível 2. Se encararmos este novo cubo formado por 20 cubos, como uma só unidade, e efectuarmos a mesma operação de o multiplicar por 20 e dispor da mesma forma, obtemos um cubo de nível 3. Este processo é, em teoria, infinito. Em termos computacionais, para obtermos um Cubo de Menger num render, são necessárias grandes quantidades de memória e processamento gráfico, o que pode resultar em horas seguidas de rendering.

Para resumir em números, se considerarmos que um cubo de nível 1 é constituído por apenas 1 cubo, e multiplicando por 20 sucessivamente, temos a quantidade exacta de cubos para o nível seguinte:

Nível : Cubos
1 : 1
2 : 20
3 : 400
4 : 8.000
5 : 160.000
6 : 3.200.000
7 : 64.000.000
(...)

A partir do nível 7, torna-se extremamente difícil em computadores pessoais, a tarefa de modelar e renderizar um Cubo de Menger, tal é a quantidade de faces a calcular no processo. Se observarmos alguns números, compreende-se facilmente o porquê da dificuldade de modelação e de rendering:

Nível : Faces
1 : 112
2 : 2.240
3 : 44.800
4 : 896.000
5 : 17.920.000
6 : 358.400.000
7 : 7.168.000.000
(...)

Coloquei pontos nas casas de separação de milhar, para que as quantidades de algarismos envolvidas não causem confusão (!). Dependendo muito da capacidade de processamento e modelação de um computador, mesmo as máquinas mais recentes têm dificuldade em lidar com as quantidades massivas de informação contidas nos cubos de níveis superiores.

Uma outra questão que já mencionei foi o tempo de rendering. Para as mesmas definições, na mesma máquina (um AMD Dual Core 2.2 Ghz com 2 GB de memória RAM e 512 MB de memória gráfica dedicada), os tempos de rendering foram os seguintes:

Nível : Tempo
1 : 4 segundos
2 : 4 segundos
3 : 5 segundos
4 : 16 segundos
5 : 1 minuto, 56 segundos
6: (sem memória)

Todos estes renders foram realizados com a dimensão de 1200x1200 pixéis, fundo branco, e os cubos com a mesma orientação e centrados a ocupar a mesma área na imagem. Ao renderizar o cubo de nível 6, o computador ficou sem memória RAM.

Há algum tempo atrás, elaborei um cubo de nível 4, pois foi o melhor que o computador conseguiu calcular. Mais recentemente, consegui realizar um de nível 5. Podem encontrar até cubos de nível 7 pela internet, mas realizados em sistemas operativos e softwares diferentes. Todos estes pormenores afectam o que é possível fazer, pelo que o que conseguimos fazer estará à partida limitado pelos meios que possuirmos.

Assim, e para terminar, aqui (um link para) o meu Cubo de Menger de nível 5 (2600x1950 pixéis, 16 minutos e 14 segundos), com alguns ajustes finais em Photoshop.

http://marciosilvadesign.blogspot.com/2008/06/teoria-de-menger.html

Obrigado por lerem,
Márcio Silva

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