Resumo de Equaçao do 2 grau usando a fatoraçao

Equação do 2º grauDenomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com .Exemplos:Equaçãoabcx²+2x+1 121 5x-2x²-1-25-1Classificação:-Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.1º caso: b=0Considere a equação do 2º grau imcompleta:x²-9=0 » x²=9 » x= » x= 2º caso: c=0Considere a equação do 2º grau imcompleta:x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum xx(x-9)=0 » x=0,93º caso: b=c=02x²=0 » x=0Resolução de equações do 2º grau:A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara.Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau?Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara:Multiplicamos os dois membros por 4a:4a²x²+4abx+4ac=04a²x²+4abx=-4acSomamos b² aos dois membros:4a²x²+4abx+b²=b²-4acFatoramos o lado esquedo e chamamos de (delta)b²-4ac:(2ax+b)²= 2ax+b=2ax=-b Logo:ou Fórmula de Bháskara:Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:1) 3x²-7x+2=0a=3, b=-7 e c=2= (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25Substituindo na fórmula:= e Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:2) -x²+4x-4=0a=-1, b=4 e c=-4= 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0Sustituindo na fórmual de Bháskara:» x=2 - Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( )3) 5x²-6x+5=0a=5 b=-6 c=5= (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui nenhuma raiz real.Logo: » vazioPropriedades:Duas raízes reais e diferentesDuas raízes reais e iguaisNenhuma raiz realRelações entre coeficientes e raízesVamos provar as relações descritas acima:Dado a equação ax²+bx+c=0, com e , suas raízes são:e A soma das raízes será:Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por: O produto das raízes será:Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por: Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a.Obtendo: Substituindo por e :Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:x² - Sx + P = 0Exemplos:1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:a) x² - 4x + 3=0[Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:b) 2x² - 6x -8 =0Sendo a=2, b=-6 e c=-8c) 4-x² = 0Sendo a=-1, b=0 e c=4:Resolução de equações fracionárias do 2º grau:Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o processo de resolução destas equações é o mesmo das equações não fracionárias.Exemplos resolvidos:a) Onde , pois senão anularia o denominador[Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2xEntão: Eliminando os denominadores, pois eles são iguais:» Aplicando a fórmula de Bháskara:Logo, x = 2 e x` = 4. » S={2,-4}b ) e [Sol] m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2)Então: Eliminando os denominadores:» » » * Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o denominador, logo a solução da equação será somente:x=-1 » S={-1}Resolução de equações literais do 2º grau:Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da incógnita.Equaçãoabcx² - (m+n)x + p = 01-(m+n)pExemplo: Determine o valor da incógnita x.1) x²-3ax+2a²=0[Sol] Aplicando a fórmula de Bháskara:a=1, b=-3a, c=2a², Logo:x = 2a e x = a » S={a,2a}Resolução de equações biquadradasEquacão biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas ao quadrado duas vezes, sua forma é:onde Exemplo resolvido:1) Fazendo x² = y , temos Substituindo os valores na equação, temos:y² - 5y + 4 = 0Aplicando Bháskara:Logo, y = 4 e y`= 1Voltando a variável x:Como y=x², temos:x²=4 » e x²=1 » Então a solução será » S={-2,-1,1,2} ou simplesmente

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