Resumo de Definição de Classe (teoria dos conjuntos) -

Na teoria dos conjuntos e suas aplicações ao longo matemática, uma classe é uma coleção de conjuntos (ou às vezes outros objetos matemáticos), que pode ser claramente definidos por uma propriedade que todos os seus membros partes. A definição precisa de "classe" depende do contexto fundacional. Em um trabalho sobre a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, a noção de classe é informal, ao passo que outro conjunto teorias, como a teoria dos conjuntos Von Neumann-Bernays-Gödel, axiomatizar a noção de "classe própria", por exemplo, como entidades que não são membros da outra entidade.Cada conjunto é uma classe, não importa em qual fundamento é escolhido. Uma classe que não é um conjunto (informalmente em Zermelo-Fraenkel) é chamado uma classe própria, e uma classe que é um conjunto é chamado às vezes uma pequena classe. Por exemplo, a classe de todos os números ordinais, e a classe de todos os conjuntos, as classes são adequadas em muitos sistemas formais.Fora a teoria dos conjuntos, a palavra "classe" às vezes é usado como sinônimo de "set". Este uso remonta a um período histórico em que as classes e conjuntos não foram distinguidos como eles são na terminologia set-teórica moderna. Muitas discussões sobre as "classes" no século 19 e anteriores estão realmente se referindo aos jogos, ou talvez para um conceito mais ambíguo.A coleção de todos os objetos algébricos de um determinado tipo geralmente será uma classe própria. Exemplos incluem a classe de todos os grupos, a classe de todos os espaços vetoriais, e muitos outros. Em teoria das categorias, uma categoria cuja coleção de objetos formam uma classe própria (ou cuja coleção de morfismos formam uma classe própria) é chamado de grande categoria.Os números surreais são uma classe apropriada de objectos que têm as propriedades de um campo.Dentro da teoria dos conjuntos, muitas coleções de conjuntos de vir a ser as classes adequadas. Exemplos incluem a classe de todos os conjuntos, a classe de todos os números ordinais, ea classe de todos os números cardinais.Uma maneira de provar que uma classe é adequada é colocá-lo em bijeção com a classe de todos os números ordinais. Este método é utilizado, por exemplo, na prova de que não há nenhuma estrutura completa livre. Os paradoxos da teoria dos conjuntos ingênuo pode ser explicado em termos de suposição inconsistente que "todas as classes são conjuntos". Com uma fundamentação rigorosa, esses paradoxos, em vez de sugerir provas de que certas classes são próprias. Por exemplo, o paradoxo de Russell sugere uma prova de que a classe de todos os conjuntos que não contêm a si mesmos é adequada, eo paradoxo Burali-Forti sugere que a classe de todos os números ordinais é adequada.

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