Resumo de Matemática Fundamental - Giovanni, Bonjorno, Giovanni Jr

Conjuntos numéricos
Como o próprio nome indica, conjunto dá a idéia de coleção. Assim toda coleção de objetos, pessoas, animais ou coisas constituem um conjunto. Os objetos que formam um conjunto são denominados elementos.
Os elementos de um conjunto são indicados por letras minúsculas a, b, c, ... e os conjuntos, por letras maiúsculas A, B, C, ...
Alguns termos e definições são importantes para o nosso estudo dos conjuntos:
Pertinência
Um elemento pode pertencer ou não pertencer a um determinado conjunto. Para indicar que um elemento pertence a um dado conjunto, utilizamos o símbolo Î e quando não pertence usamos o Ï.
x Î A (lê-se s pertence a A)
x Ï B (lê-se x não pertence a B)
Observação:
Os símbolos Î e Ï são utilizados para relacionar elemento com conjunto.

Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos.
Indica-se A=B (A é igual a B).

Conjunto vazio
Conjunto vazio é o conjunto que não possui elementos.
Representa-se o conjunto vazio por { } ou Æ.

Conjunto universo
Conjunto universo é o conjunto ao qual pertencem os elementos de todos os conjuntos que fazem parte do nosso estudo.

Subconjuntos
Dados dois conjunto, A e B, dizemos que A é subconjunto de B se cada elemento do conjunto A é, também, um elemento do conjunto B.
Indicamos esta relação por:
A Ì B lê-se: A está contido em B.
Ou também por:
B É A lê-se: B contém A.

Como representar um conjunto
Um conjunto pode ser representado de três formas:
1a forma: por extensão
Enumeram-se seus elementos, escrevendo-os entre chaves e separando-os por vírgulas. Por exemplo, o conjunto dos dias da semana:
A = {domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado}.
Podemos também utilizar a representação por extensão mesmo que o conjunto seja infinito ou seja finito mas com um número elevado de elementos.
Exemplos:
conjunto dos números ímpares:
A = {1, 3, 5, ...} conjunto infinito
conjunto dos números pares positivos menores que 200:
B = {2, 4, 6, ... }

2a forma: por compreensão
O conjunto será representado por meio de uma propriedade que caracteriza os seus elementos.
Exemplos:
A = {x | x Î IN e x < 8}
B = {x | x é vogal}
Observe que a propriedade que caracteriza o conjunto permite estabelecer se um dado elemento pertence ou não ao conjunto.
3a forma: por figuras
Toda figura utilizada para representar um conjunto é chamada diagrama de Venn.
Por exemplo, o conjunto A = {1, 2, 3, 4} pode ser representado pelo diagrama:
Os elementos de A são representados por pontos internos desta figura.
Observe que 2 Î A (é um ponto interno);
7 Ï A (é um ponto externo).

União de conjuntos
Sejam os conjuntos A = {0, 2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4}.
Vamos determinar um conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A ou a B ou à ambos:
A = {0, 2, 4, 6}
B = {0, 1, 2, 3, 4}
C = {0, 1, 2, 3, 4, 6}
O conjunto C, assim formado, é chamado união de A e B.

Diferença de conjuntos
Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {2, 4, 6, 8}.
Vamos determinar um conjunto C formado pelos elementos que pertencem a A mas não pertencem a B:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
B = {2 , 4, 6, 8}
C = {1, 3, 5}
O conjunto C, assim formado, é chamado diferença de A e B.
Então:
A diferença de dois conjuntos, A e B, é o conjunto dos elementos que pertencem a A mas não pertencem a B.
Designamos a diferença de A e B por A ? B (lê-se: A menos B).
A ? B = {x | x Î A e x Ï B}

Em diagrama:

A - B está colorido.

Observação:
Se B Ì A, a diferença A - B denomina-se complementar de B em relação a A, e indica- se CAB.
Exemplo:
CAB = A - B
Se B = {2, 3} e A = {0, 1, 2, 3, 4}, então CAB = A - B = {0 , 1, 4}.
Por diagrama, temos:

CAB está colorido.
O complementar de B em relação a A é o que falta para B ficar igual ao A.

Resolução de problemas
Vamos ver neste item como podemos aplicar a teoria dos conjuntos na resolução de alguns problemas.
1o exemplo: Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = { 1, 3, 5, 7, 9}. Sendo n(A) = número de elementos de A; n(B) = número de elementos de B; n(A Ç B) = número de elementos de A Ç B e n(A È B) = número de elementos de A È B, mostre que: n(A È B) = n(A) + n(B) - n(A Ç B).
Resolução:
A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5} Þ n(A) = 6
B = { 1, 3, 5, 7, 9} Þ n(B) = 5
A Ç B = {1, 3, 5}Þ n(A Ç B) = 3
A È B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} Þ n(A È B) = 8
Então: n(A È B) = n(A) + n(B) - n(A Ç B)
8 = 6 + 5 - 3
8 = 11 - 3
8 = 8
Podemos generalizar essa relação através da observação do diagrama.

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