Resumo de Critério de Estabilidade de Routh

O método de Routh permite determinar a estabilidade de um sistema de controle sem calcular as raízes de sua equação característica.Sendo a função de transferência FT de um sistema qualquer--- entrada X(s) ---| função de transferência F(s) |--- saída Y(s) ---dada porF(s) = Y(s) / X(s)onde
(s) indica que a função foi afetada pela transformação de Laplace, ou
seja, que foi transportada do domínio do tempo (t) para o domínio da
freqüência (s), a equação obtida fazendo-seX(s) = 0descreve
o comportamento do sistema desconsiderando-se qualquer condição
inicial, e é chamada de Equação Característica do Sistema. As raízes
desta equação definem a forma de resposta do sistema descrito por F(s)
e são chamadas de Pólos de F(s).Decompondo em frações parciais
um sistema cujas raízes de Q(s) sejam os pólos p1, p2, ..., pn, este
mesmo polinômio Q(s) pode ser escrito comoQ(s) = (s - p1) * (s - p2) * ... * (s - pn)e, daí, um sistema qualquerF(s) = Y(s) / X(s) = P(s) / Q(s)pode ser escrito comoY(s) = ( P(s) / ( (s - p1) * (s - p2) * ... * (s - pn) ) ) * X(s)Decompondo-o, fica:Y(s) = A1/(s - p1) + A2/(s - p2) + ... + An/(s - pn) + B/sem que B/s corresponde à componente de resposta em regime permanente para uma entrada em degrau unitárioX(s) = 1/s.Retornando esta equação para o domínio do tempo, fica:y(t) = A1 * exp(p1 * t) + A2 * exp(p2 * t) + ... + An * exp(pn * t) + Bem que Ai * exp(pi * t) somados corresponde à resposta de regime transitório em função do tempo (t).Para
que esta componente transitória possa chegar à zero e, portanto, tornar
o sistema ESTÁVEL, é necessário que os pólos pi sejam reais e negativos
ou complexos com parte real negativa.Para determinar a
estabilidade de um sistema sem calcular suas raízes, basta analisá-lo
usando o método de Routh. A primeira condição a ser satisfeita é que
todos os coeficientes ai do polinômio característicoa0 * s^n + a1 * s^(n-1) + ... + a(n-1) * s + antenham o mesmo sinal entre si.Montando o tabelamento de Routh para o polinômio acima:s^(n-0) | a0 | a2 | a4 | a6 | ...s^(n-1) | a1 | a3 | a5 | a7 | ...s^(n-2) | b1 | b2 | b3 | ...s^(n-3) | c1 | c2 | c3 | ......s^1s^0sendo
as duas primeiras linhas os coeficientes do polinômio (ai) e as demais
linhas coeficientes (bi e ci) determinados em função dos coeficientes
do polinômio conforme relações como:b1 = (a1 * a2 - a0 * a3) / a1b2 = (a1 * a4 - a0 * a5) / a1b3 = (a1 * a6 - a0 * a7) / a1c1 = (b1 * a3 - a1 * b2) / b1c2 = (b1 * a5 - a1 * b3) / b1e assim por diante.O
sistema será estável se não ouver qualquer inversão de sinal na
primeira coluna, o que indicaria a presenta de uma raíz positiva. Caso
apareça algum zero na primeira coluna, basta substituí-lo por E (muito
pequeno, porém maior que zero) e continuar a análise.Considerando-se agora um sistema qualquer em malha fechadaR(s) ---| G1(s) |---| G2(s) |--- C(s)---| H(s) |---e chamando de G(s) o produto G1(s) * G2(s), obtemos a FT na forma canônica:FT = C(s) / R(s) = G(s) / ( 1 + G(s) * H(s) )Exemplo prático: Determinar a faixa de valores de k para que o sistema seja estável.Sistema:entrada --- controlador integral --- planta --- saída--- realimentação ---Modelo matemático:R(s) ---| k/s |---| 1 / (s^2 + 2s + 2)(s + 2) |---| C(s)---| 1 |---A função de transferência éFT = C(s) / R(s) = (k/s) * ( 1 / (s^2 + 2s + 2)(s + 2) )Mas, na forma canônica,FT = G(s) / ( 1 + G(s) * H(s) )em que G(s) = (k/s)( 1 / (s^2 + 2s + 2)(s + 2) )e H(s) = 1 (realimentação com ganho unitário)Daí vem que a função de transferênciaFT = [ (k/s) * ( 1 / (s^2 + 2s + 2)(s + 2) ) ] / { 1 + [ (k/s)( 1 / (s^2 + 2s + 2)(s + 2) ) ] * 1 }e a equação característica do sistemadenominador(FT) = 0. Daí1 + (k/s) * ( 1 / (s^2 + 2s + 2)(s + 2) ) = 0manipulando a equação acima, vem que:s(s^2 + 2s + 2)(s + 2) + k = 0s^4 + 4s^3 + 6s^2 + 4s + k = 0Aplicando o critério de Routh:s^4 | 1 | 6 | ks^3 | 4 | 4 | 0s^2 |b1?|b2?|s^1 |c1?|s^0 |b1 = (4*6 - 1*4)/4 = 5b2 = (4*k - 1*0)/4 = kc1 = (5*4 - 4*k)/5 = (20 - 4k)/5Para
que um sistema seja estável, não pode haver inversão de sinal na
primeira coluna. Portanto, para este sistema em particular, c1 deve ser
positivo.c1 = (20 - 4k)/5 maior q 020 maior q 4kk menor q 5Concluindo, k deve estar entre 0 e 5.O Matlab, cuja versão para estudo pode ser obtida no site da MathWorks, permite a simulação de muitos tipos de sistemas.Ao iniciá-lo, criar um novo projeto em File, New, Model. A área de trabalho e a biblioteca de componentes para simulação serão apresentados.Para a demonstração, serão necessários os seguintes componentes da biblioteca Simulink:- Da categoria Sources, uma entrada em degrau (Step) e um temporizador (Clock);Esta
entrada em degrau será a excitação do nosso sistema, podendo
representar por exemplo, uma chave liga/desliga de 0/220V, como um
interruptor.O clock servirá para levar o tempo da simulação
para o gráfico de resposta, no eixo x, já que o comportamento (saída)
do sistema depende (é função) do tempo t.- Da Math, um somador (Sum) e um Ganho (Gain);O
somador compõe o sinal de referência (entrada do sistema em degrau) com
o sinal de realimentação proveniente da saída do sistema. Isto
caracteriza um sistema em Malha Fechada, já que o sinal de saída
retorna e influencia no comportamento do sistema.O ganho será o
ajuste 'manual' do controlador, que definirá a forma da resposta em
regime permanente, podendo tornar o sistema estável ou instável,
dependendo do valor adotado. Este é o K determinado pelo critério de Routh.- Da Continous, um integrador (Integrator) e duas funções de transferência (Transfer fcn);O
integrador é o tipo de controlador escolhido para "buscar" o valor de
referência. É característico o erro nulo em regime permanente, porém
com resposta lenta.A função de transferência é a relação
matemática que relaciona a saída com a entrada de um sistema.
Conhecendo-se a FT do sistema, para qualquer entrada é possível
determinar a saída.- Da Signals & Systems, um multiplexador (Mux);O
multiplexador irá sobrepor os sinais de entrada e saída, para que sejam
visualizados no gráfico da forma de resposta do sistema.- Da Sinks, um osciloscópio (Scope) e dois blocos (To Workspace).O
osciloscópio irá plotar a saída correspondente à entrada em função do
tempo, descrevendo graficamente o comportamento do sistema.Os blocos To Workspace tornam os dados da simulação disponíveis no workspace principal do Matlab.Em
seguida, ligar os blocos conforme a figura, dando especial atenção aos
polinômios da função de transferência. Notar a realimentação unitária
do sistema H(s) = 1.Editar
os parâmetros onde necessário, conforme valores dados no problema
anterior. Por exemplo, para a função da planta do sistema G2(s) =
1/((s+2)*(s^2 + 2s + 2)), abrir a caixa 'Block parameters' do bloco
'Transfer fcn' e informar apenas os coeficientes dos polinômios do
numerador e do denominador.No
menu Simulation, Parameters, ajustar o Stop time para 30 segundos. Daí
já é possível simular o sistema de controle. Basta clicar em Start
Simulation e, com um clique duplo sobre o scope, abrir o gráfico da
resposta. Clicar em Autoscale (um binóculo).Note
que, para o ganho integral zero, a resposta para uma entrada em degrau
de por exemplo, 20V, é constante e zero. Claro, afinal a função do
controlador G1(s) = k/s, em que k = 0, multiplica a função G2(s) da
planta (por exemplo uma estufa).Aumentando-se o ganho integral
k e repetindo o procedimento de simulação, é visível que este sistema
em particular é superamortecido para ganhos inferiores a 1 (um) e
subamortecido para ganhos k maior que 1, onde há ultrapassagem
(overshot) da referência.É
interessante notar que, em regime permanente (em torno de 30 segundos
para este caso), a grandeza controlada tente a atingir e permanecer
muito próxima à referência. Lembrando que regime permanente é um tempo
relativo e particular para cada sistema, que corresponde ao tempo para
que a saída estabilize ou passe a apresentar algum padrão de

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